Elżbieta Guziejko 
Liceum Ogólnokształcące
w Olecku

Konspekt lekcji 
                          matematyki w szkole średniej  ( z działu statystyka ).

Uwaga wstępna :
                            Dotychczasowy  program nauczania matematyki w  szkole średniej nie
                            przewidywał elementów statystyki , w związku z czym żaden z dostępnych
                            podręczników do liceum ogólnokształcącego nie zawierał wiadomości z 
                            tego działu, a zatem  dla realizacji tych zagadnień przygotowałam karty 
                            pracy zawierające elementy teorii i treści zadań.

Temat :   Miary tendencji centralnej i miary rozproszenia.

Cel edukacyjny :  
 Uczeń : 
•	pozna takie pojęcia jak średnia arytmetyczna , ważona, mediana, dominanta, odchylenie standardowe i nauczy się je stosować w statystyce.

Cele operacyjne :
Uczeń potrafi:
•	obliczać średnią arytmetyczną, średnią ważoną , medianę, dominantę,
•	obliczać rozstęp, odchylenie przeciętne i odchylenie standardowe,
•	wyciągać wnioski z informacji w postaci średnich, odchylenia standardowego.

Metody :
•	wykład
•	ćwiczenia praktyczne

Formy :
         - indywidualna i zbiorowa  ( z elementami pracy w grupie ).

Środki dydaktyczne:

        - karta pracy ucznia , kalkulator, foliogramy i rzutnik pisma.

Uproszczony tok lekcji

1.	Czynności organizacyjne.
2.	Wprowadzenie do nowego tematu – mini wykład na temat rodzajów średnich i wprowadzenie ich różnorodności na przykładach z codziennego życia. 
3.	Uczniowie w grupach wypełniają kartę pracy, a uzyskane wyniki są zapisywane na tablicy i omówione.
W tym samym czasie pokazywany jest foliogram na którym jest umieszczona karta pracy.

                                KARTA   PRACY   UCZNIA  

A.	MIARY  TENDENCJI  CENTRALNEJ

    Średnia arytmetyczna
    Średnia arytmetyczna n liczb x1,x2,...,xn jest to liczba taka , że  .
Zadanie  A. 1.
    Oto oceny ucznia z matematyki w semestrze zimowym : 1,2,3,4,2,4,5,3. 
    Oblicz średnią ocen.   = 

    Średnia arytmetyczna ważona – stosujemy , gdy dane są przedstawione w postaci
    szeregu statystycznego
 
wartość
zmiennej	x1	x2	...	xk	
liczebność
	n1	n2	...	nk	

       lub   

Zadanie A. 2.

cena 1 kg jabłek
      xi	liczba sklepów
     ni	łączna wartość cechy
     xini	
1,20

1,15

1,30

1,35

1,00	3

4

8

3

2

		

średnia arytmetyczna na podstawie szeregu statystycznego ze zmienną ciągłą    

Zadanie  A. 3.
 
 Robotnicy według wykonanych sztuk wyrobu w miesiącu
  
liczba wykonanych sztuk
              xi	liczba robotników
          ni	środek przedziału
       	ogólna liczba wykonanych
sztuk      	
100-110

110-120

120-130

130-140

140-150	6

14

28

12

4			
razem
	=	       X		

   

MEDIANA – środkowa wartość uporządkowanego zbioru wszystkich danych 

  szereg nieparzysty – dane ; 1 , 5 , 2 , 3 , 1 
 
  po uporządkowaniu : 
     
  mediana   M = 

 szereg parzysty – dane :  4 , 2 , 2 , 3 , 1 , 2  

  po uporządkowaniu :
       
  mediana  M = 

-	dane : 1 , 4 , 2 , 3 , 1 , 3 

-	 po uporządkowaniu : 

-	mediana  M = 

DOMINANTĄ ( moda , wartość modalna ) nazywamy tę wartość zmiennej , która występuje najczęściej ( w zbiorze może być kilka dominant )

  Dane : 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 1   
   
wartość zmiennej	1 	2	3	
liczebność	6	2	2	

   dominanta  D = 

Zadanie A. 4
 W roku szkolnym 1999/2000 Oficyna „ADAM” wydała podręczników i materiałów pomocniczych do matematyki : 
       2 do nauczania zintegrowanego dla klas I-III ,
       5 dla klas IV-VI ,
       6 dla gimnazjum ,
       4 dla liceum .           
 Wyznacz dominantę .

1.	Dyskusja nad wadami i zaletami trzech miar tendencji centralnej rozkładów.

Jako podsumowanie dyskusji uczniowie otrzymują notatkę o treści ;

Średnia arytmetyczna ( często nazywana średnią )

Zalety
	
Wady	

1.	Wielkość, która może być obliczona dokładnie.

2.	Do jej obliczenia wykorzystuje się wszystkie dane.

3.	Może być wykorzystana w dalszych obliczeniach statystycznych.
	
1. Może być wielkością mylącą w przypadku, gdy  jeden lub kilka wyników są nienormalnie duże lub małe. Rozważmy jako przykład 10 chłopców, którzy są w wieku : 5, 5 , 5 , 6, 6, 6, 7, 7, 7, 17 lat. Średni wiek chłopców w tej grupie wynosi 7,1 lat. W tym przypadku 9 z liczby  10 chłopców jest w wieku poniżej średniej. Nienormalnie duży wiek jednego z chłopców, 17 lat, stał się przyczyną tego, że średnia arytmetyczna nie opisuje dobrze omawianego rozkładu.	

Mediana ( wartość środkowa rozkładu ) 

Zalety	
Wady	
1.	Jest łatwa do zrozumienia.
2.	Nie ulega deformacji z powodu jednej ( lub kilku ) nienormalnie dużych lub małych wartości danych.
3.	Jest charakterystyką normalnej grupy danych i może czasem reprezentować aktualną daną w grupie, np. ucznia o wzroście równym medianie można łatwo znaleźć w grupie i zmierzyć jego wzrost.
	1.	Nie może być wykorzystywana w dalszych obliczeniach statystycznych.
2.	Jej wartość, w przypadku rozkładów danych pogrupowanych, może być jedynie oszacowana z krzywej częstości skumulowanych.
3.	Dla małych zbiorów danych o szczególnym typie rozkładu mediana może nie być dobrą charakterystyką tendencji centralnej. Rozważmy przykład rozkładu : 5, 5,  5, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 9, dla którego mediana jest wartość 5. z pewnością nie jest to dobra miara tendencji centralnej. W tym przypadku średnia arytmetyczna jest lepsza średnią do stosowania.

Moda ( wielkość najczęstsza )

Zalety	
Wady	
1.	Jest łatwa do zrozumienia.

2.	Nie ulega deformacji w przypadku wystąpienia w zbiorze danych kilku wyników bardzo dużych lub kilku bardzo małych.

3.	Ta miara tendencji centralnej jest często wykorzystywana przez producentów butów, ubrań, kapeluszy itd.
	1.	Nie może być dokładnie wyznaczona w przypadku rozkładów z danymi pogrupowanymi.

2.	Nie może być wykorzystywana w obliczeniach arytmetycznych.	

1.	Uczniowie w grupach wypełniają kartę pracy, a uzyskane wyniki są zapisywane na tablicy i omówione.
W tym samym czasie pokazywany jest foliogram na którym jest umieszczona karta pracy.

                                KARTA   PRACY   UCZNIA  

                             B    MIARY  ROZPROSZENIA

 ROZSTĘP  
                 R = xmax – xmin  , gdzie   xmax – największa wartość cechy w zbiorowości 
                                                   xmin – najmniejsza wartość cechy w zbiorowości
Zadanie B. 1. 
 Wyznacz obszar zmienności ( rozstęp ) dla wzrostu koszykarz pierwszej piątki zespołu NBA „Chicago Bulls” , jeżeli wzrost poszczególnych koszykarzy wynosi : 187 cm , 195 cm , 204 cm , 202 cm , 212 cm .

   ODCHYLENIE  PRZECIĘTNE  - jest średnią arytmetyczną bezwzględnych wartości odchyleń poszczególnych wartości szeregu od średniej arytmetycznej 
                                                         d = 
Zadanie B. 2.
  Wyznacz przeciętne zróżnicowanie wzrostu koszykarzy w zespole  NBA   

wartości bezwzględne odchyleń         

                        
  suma modułów tych odchyleń  :  

  odchylenie przeciętne : d

  ODCHYLENIE  STANDARDOWE 

Kwadraty odchyleń od średniej wynoszą odpowiednio :
= 
=

Suma kwadratów odchyleń : =                        
 
 Odchylenie standardowe :

6. Praca domowa :      Powtórzyć elementy statystyki opisowej  

Zadanie 1.  W kolejnych rundach gry w golfa gracz uzyskał następujące wyniki : 90, 69, 70,
                   70, 73, 71, 80. Którą miarą tendencji centralnej będzie preferować gracz, aby 
                  określić „średnią” swego wyniku: średnią arytmetyczną , medianę czy wartość 
                   modalną ?

Zadanie 2.  Powierzchnia gruntów w gospodarstwach chłopskich we wsi B wynosi  ( w ha):
                   12, 6. 8, 7, 12, 12, 10, 4, 8, 6, 4, 6. oblicz odchylenie standardowe i podaj 
                   interpretację wyniku.